Activité pour la classe

Eratosthène : mesurer le rayon de la Terre

date : 1999

Ecole : J.J. Rousseau
adresse : rue JJ Rousseau 93000 Bopbigny

Nom Prénom : Lopez Marie-Lise

Cycle : 3
Point du programme : le ciel et la Terre
e-mail : ml.lopez@wanadoo.fr

Objectifs de connaissance : le mouvement apparent du Soleil, lumière et ombre, la rotation de la terre sur elle-même et ses conséquences, la durée du jour et son évolution au cours des saisons.

En mathématiques : utiliser des instruments de mesure, exprimer le résultat d'un mesurage par un nombre, estimer une mesure, construire un instrument de mesure,la mesure de durées, les angles.

Matériel

Pour la classe : des équerres, des rapporteurs, des boussoles, du carton, ficelle, fil à plomb......

Par groupe d'élève : en fonction des expériences.

Le mot du maître : voir annexe

Ce projet fait partie d'une activité en astronomie menée tout au long de l'année, voir le document "Terre/Lune/Soleil".

Séquence N°1


Calculer la latitude et la longitude de Bobigny : compte rendu


Préambule : les élèves ont été invité dans le cadre des cours de mathématiques à inventer des instruments de mesures angulaires afin de déterminer la valeur d'angles non mesurables avec le rapporteur de la classe. Certains ont naturellement réfléchi à des instruments permettant d'effectuer des calculs sur les astres (Soleil, Lune ou étoiles). Une fois construits, je leur ai demandé de fabriquer les instruments suivants : bâton de Jacob et " quadrant ", afin d'en comparer l'efficacité. Ces mesures ne peuvent avoir lieu qu'au moment du midi solaire local vrai (qu'il faut donc chercher), et afin d'éviter des calculs compliqués, dans un premier temps, elles se feront le " jour " de l'équinoxe soit le 20/03/00. Le principe de nos mesures de latitude et de longitude est expliqué dans un autre document " Faire le point " (de J.M. Fras), lui-même suivi des tables permettant d'effectuer ou de vérifier les mesures.

Calculs sur la durée d'une journée


Voici leurs instruments :







Bâton de Jacob :
Matériel : une baguette de bois de 60cm de long et 15mm de section, un tasseau de 30cm de long et 15mm de section
Evider le tasseau en son milieu de façon à ce qu'il puisse coulisser sur la baguette. Sur celle-ci inscrire au feutre noir les graduations suivantes :
A 4cm : 75°, à 5,5 : 70°, à 7 : 65°, à 8,6 : 60°, à 10,5 : 55°, à 12,6 : 50°, à 15 : 45°
A 17,9 : 40°, à 21,4 : 35°, à 26 : 30°, à 32,2 : 25°, à 41,2 : 20°.
Côté 20° inscrire l'indication : jour, côté 75° : nuit.
Pour mesurer la hauteur du Soleil, il faut se placer dos au Soleil (attention danger, ne pas regarder directement le Soleil !)et tenir la baguette devant l'œil côté jour en visant l'horizon. Punaiser une feuille blanche à l'autre bout de la baguette ou un autre élève tient cette feuille. Faire coulisser le tasseau jusqu'à ce que son ombre se projette sur la feuille et soit au raz de la baguette, procéder à la lecture.



Essai du bâton de Jacob


Le " quadrant " :
Matériel : un morceau de carton en forme de quart de cercle avec un cadran gradué de 0 à 90° (il faut que les droites de 0° et 90° soient bien parallèles aux bords du quart de cercle), percer un trou à l'endroit où ces droites se croisent (à l'angle droit), un fil à plomb, un tube PVC de 3 à 6 mm de diamètre et de la même longueur que les côtés du quart de cercle, une feuille de papier blanc.
Coller le tube sur le côté 0° du quart de cercle bien horizontalement, nouer le fil à plomb dans le trou percé à l'angle droit, à la verticale il doit être justement placé sur le 90°.
Pour mesurer la hauteur du soleil il faut se placer dos au soleil et diriger l'instrument jusqu'à ce que le soleil passant par le tube projette une tache bien nette sur la feuille blanche tenue devant le tube par un autre élève. Un troisième élève relève la mesure donnée par le fil à plomb qui doit être immobile (c'est un peu difficile, il ne faut pas trembler en tenant le " quadrant " ni gêner le fil à plomb), par précaution il vaut mieux faire plusieurs mesures et en faire la moyenne pour un résultat plus précis.



Mesurer avec notre quadrant : pas facile !


Calculer le midi solaire vrai local :
Il y a plusieurs possibilités pour procéder à cette mesure (cf " Faire le point "), voici la solution que les élèves ont eux-mêmes utilisée car elle leur a semblé tout à fait naturelle et logique compte tenu de tous les relevés déjà effectués.
Après avoir relevé l'ombre d'un gnomon durant une journée, les élèves ont repéré les heures du matin et de l'après-midi où les traces de l'ombre reportée étaient égales. Calculer la moyenne, on obtient l'heure du midi solaire vrai local.


Voici ce qu'ils ont calculé :
Heure du matin (à la montre) : 12h36mn45s
Heure de l'après-midi (à la montre) : 13h11mn
25h47mn45s : 2 = 12h53mn52s
Soit 11h53mn52s en T.U.



Mesures avec les instruments :
1/ Bâton de Jacob : moyenne 41,6° 2/ Quadrant : moyenne 45°
3/Groupe d'Amanda : moyenne 41° 4/Groupe de Maï-Linh : moyenne 52°
5/Groupe de Kévin : moyenne 67,5° 6/ Autre groupes : moyenne 78,25°


Calcul de la latitude : l = 90° - mesure + déclinaison (voir tables)
Déclinaison le 20/03/00 à midi solaire : 0,0725
1/ 48,4725° 2/45,0725° 3/ 49,0725° soit 49°7'25''N
4/ 38,0725° 5/22,5725° 6/11,8825°
Véritable latitude de Bobigny : 48° 54' 31'' N



Calcul de la longitude : rappel la Terre parcourt 15° en 1h soit 1° en 4mn
Calculs des élèves :
Heure midi local (HML) : 11h53mn52s
Heure midi à Greenwich (HMG) : 12h07mn23s
Décalage horaire (DH) : 13mn31s soit 811s
4mn = 1° soit 240s = 1°
811 : 240 = 3° 1' 31'' E
Véritable Longitude : 2° 26' 32'' E
Précision : en principe le décalage horaire se traduit par un nombre négatif ou positif ( DH = HML - HMG), ce qui correspond respectivement à une longitude Est ou Ouest. Mais pour les élèves de primaire la soustraction a un sens et un nombre négatif n'a aucune signification. Les élèves ont donc simplement repéré sur une carte où se trouve exactement le méridien de Greenwich, partant de là il est évident que nous sommes à l'Est de ce méridien.
Pas si mal comme résultats, pour des terriens, en mer ce serait une autre histoire !…

 

Séquence N°2

Calculer la mesure du rayon de la terre

Les différents relevés effectués depuis Janvier, le calcul de la latitude et de la longitude de Bobigny ainsi que l’invention d’instruments de mesure et toutes les modélisations réalisées, permettent aux élèves d’aborder cette expérience avec suffisamment d’outils en main pour la mener à bien.

En effet, la mesure de la latitude et de la longitude d’un lieu utilise deux propriétés fondamentales liées à la connaissance des mouvements apparents du Soleil :

- la course du Soleil entre la culmination et le coucher du soleil s’effectue de manière symétrique à ce qui s’est passé entre le lever du soleil et la culmination. Les enfants ont pu abondamment observer ce phénomène lors de leurs relevés quotidiens à des périodes différents. On utilise cette symétrie pour déterminer l’heure du midi solaire vrai local.
- la forme de la trajectoire apparente du Soleil au cours d’une journée est représentative de la latitude d’un lieu, en particulier la hauteur angulaire qu’il occupe à la culmination, c’est à dire lorsqu’il passe sur le méridien céleste local. C’est précisément la mesure de cet angle à midi solaire vrai local dont nous avons besoin.
Déroulement :

- Prise de contact avec une ville effectuant la même expérience et située sur la même longitude, connaissance de la distance entre ces 2 villes
- Calculer l’heure du midi solaire vrai local
- Au jour J mesurer la longueur de l’ombre du gnomon à midi solaire vrai local dans les 2 villes
- Calculer la mesure de l’angle formé par les rayons solaires et le gnomon, plusieurs possibilités :
1/ laisser les élèves utiliser leurs instruments de mesure

2/ tracer les triangles rectangles ayant pour mesure celle du gnomon et celle de l’ombre, mesurer au rapporteur l’angle gnomon/hypothénuse

3/ procéder à un calcul à la calculette de l’angle d’inclinaison des rayons du soleil par rapport à la verticale (angle a) tel que tang a = gnomon/ombre

- Faire la différence entre les mesures trouvées dans les 2 villes
- Procéder à une règle de trois pour obtenir la mesure du rayon de la terre.

Comprendre l'expérience

Modéliser


Les 4 groupes ont élaboré leur protocole expérimental et nous nous sommes mis d’accord avec l’école partenaire (dans les Pyrénées Orientales) pour la période de mesure puisqu’il nous faut du soleil aux deux endroits en même temps.

Groupe 1 Expérience d’Eratosthène, protocole

Matériel :

1 carton
1 clou
1 niveau à bulles
1 équerre

Méthode :

Prendre le carton , planter le clou au centre, verticalement ( à 90°), vérifier avec l’équerre. Poser le carton avec le gnomon dans la cour. Avec le niveau à bulles regarder si le carton est bien à l’horizontale. Mesurer la taille du clou et de son ombre. Les reproduire sur une feuille à plat, relier le bout du clou et celui de l’ombre (ça sera le rayon du soleil). Prendre le rapporteur pour calculer l’angle formé par le bout du clou et le rayon de soleil. Faire cette mesure au midi solaire vrai local. Envoyer la mesure à Vinça et leur demander la leur.

Groupe 2

Matériel :

une équerre
une tige en fer
un niveau à bulles
du polystyrène
un mètre à enrouleur
l’instrument de mesure d’Amanda

Méthode :

On va planter la tige en fer dans le polystyrène. On va regarder si notre plaque de polystyrène est bien horizontale avec le niveau à bulles. Avec l’équerre on va vérifier que la tige est bien verticale. Avec le mètre on va représenter le rayon du soleil et on va mesurer l’angle entre la tige de fer et le mètre avec l’instrument de mesure qu’Amanda a construit.

On va envoyer notre résultat à Vinça qui nous enverra le leur, ensuite on fera la différence entre les deux angles et puis après une règle de trois et on aura la mesure du rayon de la terre.

Groupe 3 Protocole expérimental

Matériel :

1 baguette en bois
1 niveau à bulles
1 rapporteur
1 boite en carton
de la ficelle
Méthode :

Nous planterons la baguette sur la boite en carton, on calera notre niveau à bulles pour vérifier que notre horizon est bien droit. On mettra le rapporteur à l'envers sur la boite. Quand nous ferons notre mesure on prolongera le bout du bâton jusqu’au bout de l’ombre avec la ficelle qui passera un chiffre du rapporteur, puis on calculera : 90° – ce chiffre = l’angle A.


Groupe 4 Calcul du rayon de la Terre, protocole

Matériel :

1 fil à plomb
1 baguette en bois
1 planche
1 rapporteur, 1 règle
Méthode :

On plante la baguette dans la planche, on vérifie avec le fil à plomb si elle est droite, on met des cales à côté de la baguette en bois pour la tenir. Pour mesurer on prend la règle et on la met sur le bout de l’ombre et sur le bout du gnomon. On mesure l’angle formé par le bout du gnomon et le rayon du soleil (la règle) avec le rapporteur.

Le midi solaire était à 13h47mn, la distance directe (à vol d’oiseau) entre les deux villes est de 710km. Le premier jour de mesures chaque groupe a trouvé une valeur différente - de 31° à 39° - ; nous avons procédé, comme pour les relevés (cf séance 4), a une critique collective des instruments et des méthodes de mesure. Des améliorations ont été effectuées, les élèves trouvent plus fiable la méthode de reproduction du triangle rectangle obtenu, ils décident tous de faire la même chose en plus de leurs mesures pour pouvoir vérifier. Les mesures suivantes se sont uniformisées pour donner 32°, nos collègues des Pyrénées nous ont envoyé la leur soit 24°, donc une différence de 8°. Les élèves ont donc effectué leur règle de trois (vue en mathématiques avec la proportionnalité) soit ( 360 x 710) : 8 = 31950 km de circonférence, C = D x p donc D = C ¸ p soit 31950 : 3,14 = 10175

Pour donner un rayon de 5087 km, ce qui est un résultat tout à fait honorable ! (véritable valeur 6300 km).


On vérifie la verticalité du gnomon


On mesure avec précision



On écrit le compte rendu dans le cahier d’expériences

 

Latitude, longitude, rayon de la Terre : pourquoi ces mesures en astronomie ?

Bien évidemment ces mesures permettent d’aborder des notions mathématiques de manière assez originale, mais ce n’est pas tout.

Les élèves ont observé, ; décrit et j’espère compris les différents mouvements apparents du Soleil sur une période plus ou moins longue. Ce type de mesure vient conforter l’ensemble des apprentissages et leur donne du sens.

Ensuite, la Terre fait partie de ce système planétaire qu’ils étudient et comme ils l’ont si bien fait remarquer " quand on est sur la Terre on ne voit pas comment elle est et comment elle bouge ". Or ces mesures découlent de la forme de la Terre et de sa position parmi les astres.

L’hypothèse d’une terre en forme de boule remonte à l’Antiquité. La 1ère mesure du rayon de cette supposée sphère fut effectuée par Eratosthène mathématicien grec (IIIème siècle av. J.C.). Des cosmographes arabes reprendront cette mesure au IXème siècle. Il faudra attendre le XVIIème siècle pour voir progresser la méthode de mesure avec la triangulation, basée sur des mesures d’angles et de distances entre points visibles entre eux. Les premières mesures obtenues sur un méridien joignant Dunkerque aux Pyrénées (Méridienne de Cassini) seront à l’origine de l’hypothèse d’une terre allongée suivant l’axe des pôles. En 1737 l’Académie des Sciences lancera deux missions de triangulation une pour la mesure d’arcs près du pôle Nord, l’autre près de l’Equateur. Elles apporteront la preuve d’une Terre aplatie aux pôles. Il n’y a pas que nos élèves qui ont du mal à imaginer notre chère sphère !…

Pour les plus curieux, sachez que la triangulation permettra la publication de trois cartes nationales : XVIIIème s. carte de Cassini, XIXème s. carte d’Etat-Major au 1 : 80 000, XXème s. carte de France au 1 : 25 000. Cette méthode pour mesurer des grandes distances fut imaginée par le hollandais Snellius au début du XVIIème s. Elle consiste à construire sur une carte une succession de triangles reliant entre eux des points remarquables. C’est aussi cette méthode qui sera employée en 1792 par Delambre et Méchain pour la mesure de notre mètre étalon ! (La Révolution est au programme d’histoire du cycle 3…)

La navigation maritime : pendant des siècles le grand problème posé aux voyageurs et explorateurs était de savoir se situer par rapport à leur point de départ. La localisation sur Terre s’obtient en connaissant la longitude et la latitude du lieu puisque nous sommes sur une sphère ! Pour la latitude, la terre tourne autour de son axe en un jour et si, lorsqu’on se déplace, un astre garde la même hauteur maximale sur l’horizon, c’est que l’on est toujours à la même latitude. Si l’astre est plus haut, on descend d’autant en latitude et s’il est plus bas, c’est que l’on monte. Pour la longitude, le problème est plus compliqué, car on doit conserver au cours du voyage le temps local du point de départ. Le problème fut résolu au XVIIIème s. par J.Harisson et ses horloges. Mais dans tous les cas, on doit disposer de tables de positions des astres observés pour pouvoir faire le point : ce sont les éphémérides nautiques. (Voir le document " Faire le point ")

Le principe de la navigation céleste repose sur ces données. La position des astres est aujourd’hui suffisamment bien connue pour les besoins de la navigation céleste, pourtant les recherches continuent pour améliorer ces positions afin d’aider à la navigation spatiale.

Ainsi, les astres ont de tous temps aidé à savoir où se trouve le voyageur, sur terre, sur mer et dans l’espace.



La mesure a besoin de précision



Ensuite on vérifie


Nous sommes fiers de nous !

 

ANNEXE

"L'école d'Athènes" - Raphaël 1610 (détail)

Historique

De l’astronomie grecque on retient le nom d’Eratosthène , poète, grammairien, philosophe, géomètre, géographe et…astronome du IIIème siècle av. J.C., pour sa première mesure de la Terre. C’est dans le " De motu circulari corporum caelestium " ( " Théorie du mouvement circulaire des corps célestes ") de Cléomède, astronome grec, que l’on trouve le récit de cette expérience.

Plusieurs acquisitions furent nécessaires à cette expérience, deux d’ordre intellectuel, une d’ordre technique :

- la connaissance de la sphéricité de la Terre
- la relation d’égalité des angles alternes – internes
- la connaissance d’un instrument de mesure adéquat.
Les premiers à suggérer que la Terre est sphérique sont les disciples de Pythagore de l’école pythagoricienne de Crotone, parce que " la sphère est la plus belle de toutes les figures solides ". Mais c’est Aristote (IVème s ; av. J.C.) qui, le premier, donne dans son " Traité du ciel " des arguments pour justifier cette théorie : la forme circulaire de l’ombre projetée par la Terre sur la surface de la Lune lors des éclipses de Lune ; le fait qu’un voyageur se déplaçant du Nord vers le Sud voit disparaître certaines constellations tandis que de nouvelles s'élèvent ; enfin la Terre doit être sphérique pour des raisons de symétrie et d’équilibre.

Les géomètres de l’époque savent qu’une droite coupant des droites parallèles forme des angles alternes – internes égaux.

Les grecs ont emprunté aux populations agricoles du Néolithique, un instrument de mesure, ancêtre primitif du cadran solaire, le gnomon ( ou stylet) : c’est un bâton planté verticalement dont on mesure la longueur de l’ombre projetée par le Soleil qui varie en fonction de la position de l’astre. L’ombre la plus courte correspond au midi solaire, et si l’on mesure au cours de l’année la longueur de l’ombre quand le Soleil est au méridien on peut en déduire les dates des solstices : quand l’ombre est la plus courte c’est le solstice d’été, quand elle est maximale c’est le solstice d’hiver.

Plusieurs versions de l’expérience diffèrent à propos de l’instrument utilisé : certains parlent de l’ombre de l’obélisque d’Alexandrie, d’autres d’un scaphé : un hémisphère creux ayant comme rayon le gnomon et comme centre la pointe du gnomon, " le gnomon projette dans le scaphé une ombre qui est l’image renversée mais exacte d’un arc céleste ".

L’expérience

 


"Le géographe" J.Vermeer 1668-1669

Eratosthène a donc calculé la mesure du rayon de la terre. Il pensait qu’Alexandrie, au Nord de l’Egypte, se trouvait sur le même méridien (donc à la même longitude) que Syène (aux environs de l’actuel barrage d’Assouan), ce qui n’est pas tout à fait exact. Il avait remarqué que le jour du solstice d’été à midi, il n’y avait pas d’ombre au fonds d’un puits à Syène car à ce moment là le Soleil est au zénith. Mais le même jour au même moment les bâtiments à Alexandrie ont une ombre. Il utilisa un gnomon (ou l’obélisque d’Alexandrie lui servit de gnomon) pour mesurer l’angle ainsi formé (gnomon/rayons solaires) il mesura environ 7°. Par simple géométrie (angles alternes-internes égaux) il put déduire que cet angle est aussi la différence de latitude entre les deux villes. Il savait aussi que les caravanes de chameaux évaluaient la distance entre Syène et Alexandrie à 5000 stades mesure de l’époque. Une simple règle de trois lui permit de calculer la circonférence de la terre, soit un arc de cercle de 360° :

Angle 7° 5000stades

Arc de cercle 360° 257000stades

Un stade vaut 157m environ, la circonférence de la Terre est donc de 40349km à comparer aux 40074km actuellement mesurés !

Connaissant la circonférence il est facile de calculer le rayon de la Terre :

40349 : 3,14 = 12838,85 / 2 = 6419 km

Mesure actuelle : 6378 km !